Αναζήτηση στο site

Επαφή

Θάνος Παπασταθόπουλος-Κατσαρός

Αρχική Σελίδα > Άλμα από μεγάλο ύψος και τροχιά γύρω από τη Γη

Άλμα από μεγάλο ύψος και τροχιά γύρω από τη Γη

Έπεια από πολύ καιρό αδράνειας και με αφορμή το μεγάλο άλμα του Felix Baumgartner από ύψος 39 χιλιομέτρων πάνω από την επιφάνεια της Γης, θα ήθελα να ξεκαθαρίσω κάποια πράματα σχετικά με την τροχιά γύρω από πλανήτες. Πολλοί με ρωτούσαν στο σχολείο γιατί δεν μπήκε σε τροχιά γύρω από τη Γη αφού έπεσε από τόσο μεγάλο ύψος και άλλα τέτοια παρόμοια. Πάμε να δούμε όμως τι πραγματικά συμβαίνει.

Αρχικά, θα πρέπει να πούμε πως η μόνη δύναμη που του ασκείτο ήταν η δύναμη του βάρους, την οποία συμβολίζουμε με $w$ και η οποία $w = mg$ . Επειδή όμως ήταν και η μόνη δύναμη, $\Sigma F = w$ και άρα $\Sigma F = mg$ .

Όταν όμως κάποιος μπει σε τροχιά σημαίνει πως θα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση και άρα θα του ασκείται κεντρομόλος δύναμη $F$ , η οποία $F = \frac{mv^2}{r}$ .

Συνδυάζοντας τα παραπάνω, για να μπει σε τροχιά όταν η μόνη δύναμη που του ασκείται είναι το βάρος του, θα πρέπει $\Sigma F = F$ και δηλαδή $mg = \frac{mv^2}{r}$ . Διαιρώντας και τα δύο μέλη με $m$ (η διαίρεση μπορεί να γίνει γιατί η μάζα $m$ δεν είναι μηδενική ποτέ) προκύπτει $g = \frac{v^2}{r}$ . Η επιτάχυνση της βαρύτητας $g$ είναι σταθερή, η ακτίνα $r$ του κύκλου που θα εκτελεί είναι σταθερή, άρα βλέπουμε πως για να μπει σε τροχιά θα πρέπει να έχει μία κατάλληλη αρχική ταχύτητα $v$ . Πάμε τώρα να την υπολογίσουμε αυτή την ταχύτητα.

Λύνοντας ως προς $v^2$ προκύπτει $v^2 = gr \leftrightarrow v = \sqrt{gr}$ . Εδώ πρέπει να τονίσουμε ότι βάλαμε ισοδυναμία επειδή όλες οι ποσότητες είναι θετικές. Πάμε τώρα να βάλουμε νούμερα. Με μία απλή αναζήτηση στο Google μπορούμε να βρούμε πως η ακτίνα της Γης $R \approx 6380 km \approx 6380000 m$ . Όμως ο Felix ήταν και σε ένα ύψος $h \approx 39km \approx 39000m$ πάνω από τη Γη. Με απλή λογική καταλαβαίνουμε ότι η ακτίνα του κύκλου που θα εκτελούσε $r = R + h \approx 6380000m + 39000m \approx 6419000 m$ . Επίσης, η επιτάχυνση της βαρύτητας στα $39km$ , $g \approx 9.6 \frac{m}{s^2}$ . Βάζοντας τα νούμερα στην παραπάνω σχέση προκύπτει $v \approx \sqrt{9.6\frac{m}{s^2}*6419000m} \approx \sqrt{61622400\frac{m^2}{s^2}} \approx 7850\frac{m}{s}$ . Βλέπουμε λοιπόν πως για να έμπαινε σε τροχιά θα έπρεπε να είχε μία τεράστια αρχική ταχύτητα! Αυτή η ταχύτητα όμως προς τα πού θα έπρεπε να ήταν; Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται καθαρά η κατεύθυνση της αρχικής του ταχύτητας.

Ελπίζω να λύθηκαν οι παρεξηγήσεις και να έγινε κατανοητό το τι πάει να πει "τροχιά" γύρω από πλανήτη.

Από εδώ μπορείτε να κατεβάσετε το παραπάνω άρθρο σε μορφή pdf.