Αναζήτηση στο site

Επαφή

Θάνος Παπασταθόπουλος-Κατσαρός

Αρχική Σελίδα > Μέθοδος του Αρχύτα

Μέθοδος του Αρχύτα

Η μέθοδος του Αρχύτα είναι μια μέθοδος για τον υπολογισμό τετραγωνικών ριζών θετικών ακεραίων αριθμών. Αποτελείται από 3 βήματα, από τα οποία το τρίτο επαναλαμβάνεται όσες φορές θέλουμε για την ακριβέστερη προσέγγιση της ρίζας.

Έστω $\alpha$ ο αριθμός του οποίου θέλουμε να βρούμε την τετραγωνική ρίζα. Θα πρέπει να βρούμε τους θετικούς ακεραίους $\beta$ και $\gamma$ , έτσι ώστε $(\beta +1)^2 > a$ (και $\gamma < 2 \beta + 1$ ).
Βρίσκουμε τον αριθμητικό και τον αρμονικό μέσο των $\beta$ και $\frac{\alpha}{\beta}$ .
Γνωρίζοντας ότι η τετραγωνική ρίζα είναι μεταξύ αρμονικού και αριθμητικού μέσου και από τα παραπάνω, προκύπει: $\frac{2 \alpha \beta}{\beta^2 + \alpha}< \sqrt{\alpha}< \frac{\beta^2 + a}{2 \beta}$ .
Τώρα είναι η ώρα να βρούμε τον αριθμητικό και τον αρμονικό μέσο των προηγούμενων αριθμητικών και αρμονικών μέσων και να επαναλάβουμε αυτή την διαδικασία όσες φορές θέλουμε, αλλάζοντας κάθε φορά τους μέσους, δηλαδή αν $M_1$ ο αριθμητικός μέσος των $\beta$ και $\frac{\alpha}{\beta}$ , δηλαδή ο $\frac{\beta^2 + a}{2 \beta}$ και $A_1$ ο αρμονικός μέσος των $\beta$ και $\frac{\alpha}{\beta}$ , δηλαδή ο $\frac{2 \alpha \beta}{\beta^2 + \alpha}$ , τότε $M_2 = \frac{M_1 + A_1}{2}$ και $A_2 = \frac{2M_1A_1}{M_1+A_1}$ . Από εδώ και στο εξής, θα προκύπτει συνεχώς $M_n = \frac{M_{n-1} + A_{n-1}}{2}$ και $A_n = \frac{2M_{n-1}A_{n-1}}{M_{n-1}+A_{n-1}}$ .

Πάμε τώρα να δούμε ένα παράδειγμα. Έστω $\alpha = 29$ , τότε θα έχουμε $\beta = 5$ και $\gamma = 4$ , διότι $29 = 5^2 + 4$ . Ο αριθμητικός μέσος των $5$ και $29/5$ είναι ο $\frac{5 + 29/5}{2} = 5.4$ . Ο αρμονικός μέσος των $5$ και $29/5$ είναι ο $\frac{2*5*29/5}{5 + 29/5} \approx 5.370$ . Στην συνέχεια, υπολογίζουμε τον αριθμητικό μέσο του $5.4$ και του $5.370$ , όπου προκύπτει $\frac{5.4 + 5.370}{2} \approx 5.38518$ και τον αρμονικό μέσο του $5.4$ και του $5.370$ , όπου προκύπτει $\frac{2*5.4*5.370}{5.4 + 5.370} \approx 5.385144$ . Από τα παραπάνω, έχουμε $5.385144 < \sqrt29 <5.38518$ , κάτι που ισχύει άμα το δούμε και σε υπολογιστή τσέπης. Συνεχίζουμε αυτή την διαδικασία, και έχουμε όλο και μεγαλύτερη ακρίβεια στην ρίζα που θέλουμε.

Για όποιον ενδιαφέρεται, εδώ υπάρχει και μια δικιά μου υλοποίηση της παραπάνω μεθόδου σε Python και σε C.

Περισσότερες πληροφορίες για τους μέσους εδώ και για το "βιογραφικό" του Αρχύτα εδώ.

Το παραπάνω άρθρο μπορείτε να το κατεβάσετε από εδώ.